<《圣经》读书笔记《三块广告牌》影评>

深入理解IEEE754的64位双精度

### 前言
　　最近在JavaScript使用整数时，遇到因为数字超出最大值的问题。回忆起Cifer中学时代玩魔兽世界，金币最大为21万4748金币36银币47铜币，即2147483647，当时并不懂原因，还以为暴雪想限制游戏平衡、防玩家沉迷。
　　简单理解，带符号的32位int中2^31-1 = 2147483647 。但在JS整数中，事情并不简单。
　　因为JS数字不区别整数与浮点数，只有Number类型，即都是浮点数，它采用IEEE 754标准的64位双精度格式（如果是索引数字则是32位单精度 ）。

### IEEE 754 的双精度
　　IEEE 754 标准为IEEE二进位浮点数算术标准，是由美国电气电子工程师学会（IEEE）发布。IEEE 754是最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用，大部分编程语言都有提供IEEE格式与算术，但有些将其列为非必要的。

<a href="http://www.boatsky.com/blog/26">IEEE 754 的双精度</a>，由三部分组成：

1位数符  +   11位阶码   +   52位尾数

数符S(sign)：标记正负，0为正，1为负
阶码E(exponent bias)：阶码  =  阶码真值  +  偏移量 1023。偏移量 = 2^(k-1)-1,k表示阶码位数  
尾数M(Mantissa)：数字的小数部分

V =  (-1)^Sｘ2^(E-1023)*1.M

其中1023是偏移量

32位单精度：
1位数符 + 8位阶码 + 23位尾数
与64位原理一样，本例只细讲64位。

#### 阶码E、阶码真值的区别
　　阶码真值即为科学记数法指数的真实值的2进制，它指明了小数点在尾数中的位置，阶码真值与偏移量相加得到阶码。简单理解，阶码真值是实际指数中二进制值，而阶码是指数偏移之后保存起来的二进制数据。

#### 为什么会有偏移量1023
　　11位代表的阶码，如果是无符号是[0,2047],去除0与2047两个非规格化情况（后面会讲到为什么是非规格化情况），变成[1,2046], 偏移之前，指数是[-1022,1023]。如果没有偏移量的存在，指数需引入符号位, 则需引入补码，比较计算更加复杂，为了简化操作，才使用无符号的阶码，引入偏移量的概念。

#### 尾数M实际有多少位
　　同一个浮点数的表示方式有很多，但规范中一般使用科学计数法，例如用5.123x10^3表示，而不用51.23x10^2或0.5123x10^4。二进制中只有0与1，那么按科学计数法，首位只可能是1，对此IEEE 754省略了这个默认的1，所以有效尾数实际上是有53位的。

这时出现一个问题，尾数M省略的1是一定会存在，以致于浮点数无法表示0.0

不过IEEE 754早就考虑到了这个问题。
  
####   E阶码分成三种情况

规格化：
S  +  (E!=0 && E!=2047) + 1.M

非规格化：
S + 000 00000000 + M

无穷大：
S + 111 11111111 + 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000  0000

无穷大的变种即NaN：
S + 111 11111111 + (M!=0)

规格化的情况：即上述的一般情况，因为阶码不能为0也不能为2047，所以指数不能为-1023，也不会为1024，只有这种情况才会有隐含位1。

非规范化情况：此时阶码全为0，指数为-1023，如尾数全为0，则浮点数表示正负0；否则表示那些非常的接近于0.0的数。

#### 举个规格化的例子
　　十进制 -125.125，在JS内存中的二进制数据是多少
　　第1步，负号S为1，绝对值转成二进制：1111101.001，（整数小数分开计算，整数除2取余；小数乘2取整）
　　第2步，科学计数法：1.11110100 1 * 2^6
　　第3步，计算阶码： 000 00000110 (阶码真值) + 011 11111111 (偏移量) = 1  00 00000101
　　第4步，得到最终存储值：1 + 100 00000101 + 11110100 10000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0000

#### 数字的范围
　　数的范围有两个概念，一为最大正数与最小负数，二为最小正数与最大负数，即[最小负数，最 大负数] 并上 [最小正数，最大正数]
　　从S、E、M三个维度看，S代表正负，E阶码值远大于M尾数个数，所以S阶码决定大小，M尾数决定精度。

从E阶码分析：
　　规格化下，当E最大值时, 2046-1023=1023，或 ，111 11111110 - 011 11111111 (偏移量) = 011 11111111 = 1023
　　从E的最大值，从指数来看，得知数值范围是 [-2^1023,2^1023],JS函数Math.pow(2,1023)结果是8.98846567431158e+307，然而如果尾数是，1.11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 1111 ，则其接近于2，8.98846567431158 x 2    再合上原来的指数，约等于   
1.797693134862316e+308
1.7976931348623157e+308，这个值是我们用JS常量Number.MAX_VALUE获取到的，两者非常相近。
　　所以数字的范围是[-1.7976931348623157e+308,1.7976931348623157e+308]，如果超过这个值，则数字太大，在JS中会显示Infinity或-Infinity,叫正向溢出。

非规格化下，指数为，000 00000000 - 011 11111111 (偏移量) = - 100 00000001（转成10进制，减1取反）=  - 1023
　　从指数看，得知最小值是2^-1023，然而如果尾数是0.00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0001
　　不为0的情况，52位尾数相当于小数点还能虚拟化的向右移动51，可以取得更小的 2^-51,  所以最小值为2^-1074 = Math.pow(2,-1074) 约等于 5e-324
　　而JS最小值常量Number.MIN_VALUE正是5e-324

所以(-5e-324,5e-324)之间的数比可表示的最小数还要小，显示成0，叫反向溢出。
  
#### 整数范围
　　从M尾数分析，精度最多是53位，精确整数的范围。
　　如M最大值，1.11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 1111 即2^53-1 , 9007199254740991
可用Math.pow(2,53)-1 计算范围 [-9007199254740991, 9007199254740991],
恰好发现：
　　JS最小安全整数 Number.MIN_SAFE_INTEGER： -9007199254740991
　　JS最大安全整数 Number.MAX_SAFE_INTEGER： 9007199254740991
　　如果整数是这个或者小数尾数在这个『范围』内，则是安全整数，可用函数Number.isSafeInteger()验证。

尾数M在52位范围内，1. 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0001 可以认为是最小精度  2^-52，可用常量Number.EPSILON  1
2.220446049250313e-16
表示，可用它做精度判断、误差设置等。

### JS中数的总结
|    |      JS的32位整数|  64位精度|
|----------|:-------------:|------:|
| 场景 |  数组可识别length索引、位运算 | 正常number |
|整数范围 |    数组可识别length索引: [0, 4294967295]  ,参与位运算的数字范围: [-2147483647, 2147483647]   | [-9007199254740991, 9007199254740991] |
| 可表示数的范围 | 同上 |    [-1.7976931348623157e+308，-5e-324],[5e-324, 1.7976931348623157e+308] |
|最小精度| 1 | 2.220446049250313e-16 |

一目了然，如果超过相关值时，需使用字符串手工运算转换了。又或者使用开源的 <a href="http://mikemcl.github.io/bignumber.js/" title="bignumber.js" target="_blank" rel="nofollow">bignumber.js</a>

了解64位双精度的实现过程之后，Cifer下面这篇文章就很好理解了：<a href="https://www.boatsky.com/blog/32">解决toFixed四舍五入陷阱</a>

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